ドブルの考察

ちょっといろいろあったドブル。改めて、その特徴的なカード構成に関する考察です。

ドブルカード（デッキ）の特徴は以下の通り
・全てのカードは8つの異なるマークが描かれている。
・デッキ中の任意の2枚において必ず1つだけ共通するマークが描かれている。

この2つの約束を守ってドブルカードの構成を再構築してみます。

まず、カードを2枚つくります。この2枚で共通するマークは1つだけなので、他のマークは全て異なるはずなのでマークを数で表現することにすると

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]

の2枚が考えられます。
同様に、もう6枚

[1, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22]
[1, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29]
[1, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36]
[1, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43]
[1, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50]
[1, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57]

次に、以上の8枚からそれぞれ1つずつ1以外のマークを抜き出します。

[2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51]

当然、これは先の8枚と比べると必ず1つ同じマークがあります。 ここで2を固定してもう6枚、条件を満たすカードが作れます。

[2, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52]
[2, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53]
[2, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54]
[2, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55]
[2, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56]
[2, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57]

この作業を繰り返すことで、最初の8枚から先頭の数字を変えた7x7=49枚のカードを作成することができます。ここで大事なのは、1枚目を除いた7枚から1つずつマークを選ぶ際に、いずれのマークのペアも2回以上使用しない必要があります。このあたりは数学的に証明しようがあると思うのですが、とりあえず手動でがんばります。

結論としては57種類のマークを用いて8+7x7=57枚のカードが構成できました。それぞれのマークは8回ずつ使用されています。実際のドブルのカードは55枚で、そこから2枚のカードが抜けているらしいですが印刷的な事情なんでしょうか、ね。

一応、最後に全カードの内訳を載せておきます。

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]
[1, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22]
[1, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29]
[1, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36]
[1, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43]
[1, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50]
[1, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57]
[2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51]
[2, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52]
[2, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53]
[2, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54]
[2, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55]
[2, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56]
[2, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57]
[3, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57]
[3, 10, 18, 26, 34, 42, 50, 51]
[3, 11, 19, 27, 35, 43, 44, 52]
[3, 12, 20, 28, 36, 37, 45, 53]
[3, 13, 21, 29, 30, 38, 46, 54]
[3, 14, 22, 23, 31, 39, 47, 55]
[3, 15, 16, 24, 32, 40, 48, 56]
[4, 9, 18, 27, 36, 38, 47, 56]
[4, 10, 19, 28, 30, 39, 48, 57]
[4, 11, 20, 29, 31, 40, 49, 51]
[4, 12, 21, 23, 32, 41, 50, 52]
[4, 13, 22, 24, 33, 42, 44, 53]
[4, 14, 16, 25, 34, 43, 45, 54]
[4, 15, 17, 26, 35, 37, 46, 55]
[5, 9, 19, 29, 32, 42, 45, 55]
[5, 10, 20, 23, 33, 43, 46, 56]
[5, 11, 21, 24, 34, 37, 47, 57]
[5, 12, 22, 25, 35, 38, 48, 51]
[5, 13, 16, 26, 36, 39, 49, 52]
[5, 14, 17, 27, 30, 40, 50, 53]
[5, 15, 18, 28, 31, 41, 44, 54]
[6, 9, 20, 24, 35, 39, 50, 54]
[6, 10, 21, 25, 36, 40, 44, 55]
[6, 11, 22, 26, 30, 41, 45, 56]
[6, 12, 16, 27, 31, 42, 46, 57]
[6, 13, 17, 28, 32, 43, 47, 51]
[6, 14, 18, 29, 33, 37, 48, 52]
[6, 15, 19, 23, 34, 38, 49, 53]
[7, 9, 21, 26, 31, 43, 48, 53]
[7, 10, 22, 27, 32, 37, 49, 54]
[7, 11, 16, 28, 33, 38, 50, 55]
[7, 12, 17, 29, 34, 39, 44, 56]
[7, 13, 18, 23, 35, 40, 45, 57]
[7, 14, 19, 24, 36, 41, 46, 51]
[7, 15, 20, 25, 30, 42, 47, 52]
[8, 9, 22, 28, 34, 40, 46, 52]
[8, 10, 16, 29, 35, 41, 47, 53]
[8, 11, 17, 23, 36, 42, 48, 54]
[8, 12, 18, 24, 30, 43, 49, 55]
[8, 13, 19, 25, 31, 37, 50, 56]
[8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 57]
[8, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51]